Чему равна жесткость пружины? Как найти коэффициент жесткости пружины В чем измеряется жесткость стержня.

УПРУГОСТЬ, МОДУЛЬ УПРУГОСТИ, ЗАКОН ГУКА. Упругость – свойство тела деформироваться под действием нагрузки и восстанавливать первоначальную форму и размеры после ее снятия. Проявление упругости лучше всего проследить, проведя простой опыт с пружинными весами – динамометром, схема которого показана на рис.1.

При нагрузке в 1 кг стрелка-индикатор сместится на 1 деление, при 2 кг – на два деления, и так далее. Если нагрузки последовательно снимать, процесс идет в обратную сторону. Пружина динамометра – упругое тело, ее удлинение D l , во-первых, пропорционально нагрузке P и, во-вторых полностью исчезает при полном снятии нагрузки. Если построить график, отложить по вертикали оси величины нагрузки, а по горизонтальной – удлинение пружины, то получаются точки, лежащие на прямой, проходящей через начало координат, рис.2. Это справедливо как для точек, изображающих процесс нагружения так и для точек, соответствующих нагрузке.

Угол наклона прямой характеризует способность пружины сопротивляться действию нагрузки: ясно, что «слабая» пружина (рис.3). Эти графики называются характеристиками пружины.

Тангенс угла наклона характеристики называется жесткостью пружины С . Теперь можно записать уравнение деформирования пружины D l = P / C

Жесткость пружины С имеет размерность кг / см\up122 и зависит от материала пружины (например, сталь или бронза) и ее размеров – длины пружины, диаметра ее витка и толщины проволоки, из которой она сделана.

В той или иной мере все тела, которые можно считать твердыми, обладают свойством упругости, но заметить это обстоятельство можно далеко не всегда: упругие деформации обычно очень малы и наблюдать их без специальных приборов удается практически только при деформировании пластинок, струн, пружин, гибких стержней.

Прямым следствием упругих деформаций являются упругие колебания конструкций и природных объектов. Можно легко обнаружить дрожание стального моста, по которому идет поезд;иногда можно услышать, как звенит посуда, когда на улице проезжает тяжелый грузовик; все струнные музыкальные инструменты так или иначе преобразуют упругие колебания струн в колебания частичек воздуха;в ударных инструментах тоже упругие колебания (например, мембраны барабана) преобразуются в звук.

При землетрясении происходят упругие колебания поверхности земной коры; при сильном землетрясении кроме упругих деформаций возникают пластические (которые остаются после катаклизма как изменения микрорельефа), а иногда появляются трещины. Эти явления не относятся к упругости: можно сказать, что в процессе деформирования твердого тела сначала всегда появляются упругие деформации, потом пластические, и, наконец, образуются микротрещины. Упругие деформации очень малы – не больше 1%, а пластические могут достигнуть 5–10% и более, поэтому обычное представление о деформациях относится к пластическим деформациям – например, пластилин или медная проволока. Однако, несмотря на свою малость, упругие деформации играют важнейшую роль в технике: расчет на прочность авиалайнеров, подводных лодок, танкеров, мостов, туннелей, космических ракет – это, в первую очередь, научный анализ малых упругих деформаций, возникающих в перечисленных объектах под действием эксплуатационных нагрузок.

Еще в неолите наши предки изобрели первое дальнобойное оружие – лук и стрелы, используя упругость изогнутой ветки дерева; потом катапульты и баллисты, построенные для метания больших камней, использовали упругость канатов, свитых из растительных волокон или даже из женских длинных волос. Эти примеры доказывают, что проявление упругих свойств было давно известно и давно использовалось людьми. Но понимание того, что любое твердое тело под действием даже небольших нагрузок обязательно деформируется, хотя и на очень малую величину, впервые появилось в 1660 у Роберта Гука , современника и коллеги великого Ньютона . Гук был выдающимся ученым, инженером и архитектором. В 1676 он сформулировал свое открытие очень кратко, в виде латинского афоризма: «Ut tensio sic vis», смысл которого состоит в том, что «какова сила, таково и удлинение». Но опубликовал Гук не этот тезис, а только его анаграмму: «ceiiinosssttuu». (Таким образом тогда обеспечивали приоритет, не раскрывая сути открытия.)

Вероятно, в это время Гук уже понимал, что упругость – универсальное свойство твердых тел, но считал необходимым подтвердить свою уверенность экспериментально. В 1678 вышла книга Гука, посвященная упругости, где описывались опыты, из которых следует, что упругость есть свойство «металлов, дерева, каменных пород, кирпича, волос, рога, шелка, кости, мышцы, стекла и т.п.» Там же была расшифрована анаграмма. Исследования Роберта Гука привели не только к открытию фундаментального закона упругости, но и к изобретению пружинных хронометров (до того были только маятниковые). Изучая различные упругие тела (пружины, стержни, луки), Гук установил, что «коэффициент пропорциональности» (в частности, жесткость пружины) сильно зависит от формы и размеров упругого тела, хотя материал играет решающую роль.

Прошло более ста лет, в течение которых опыты с упругими материалами проводили Бойль, Кулон, Навье и некоторые другие, менее известные физики. Одним из основных опытов стало растяжение пробного стержня из изучаемого материала. Для сравнения результатов, полученных в разных лабораториях, нужно было либо использовать всегда одинаковые образцы, либо научиться исключать слияние размеров образца. И в 1807 появилась книга Томаса Юнга, в которой был введен модуль упругости – величина, описывающая свойство упругости материала независимо от формы и размеров образца, который использовался в опыте. Для этого нужно силу P , приложенную к образцу, разделить на площадь сечения F , а произошедшее при этом удлинение D l разделить на первоначальную длину образца l . Соответствующие отношения – это напряжение s и деформация e .

Теперь закон Гука о пропорциональности можно записать в виде:

s = Е e

Коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга, имеет размерность, как у напряжения (МПа), а обозначение его есть первая буква латинского слова elasticitat – упругость.

Модуль упругости Е – это характеристика материала того же типа, как его плотность или теплопроводность.

В обычных условиях, чтобы продеформировать твердое тело, требуется значительная сила. Это означает, что модуль Е должен быть большой величиной – по сравнению с предельными напряжениями, после которых упругие деформации сменяются пластическими и форма тела заметно искажается.

Если измерять величину модуля Е в мегапаскалях (МПа), получатся такие средние значения:

Физическая природа упругости связана с электромагнитным взаимодействием (в том числе с силами Ван-дер-Ваальса в решетке кристалла). Можно считать, что упругие деформации связаны с изменением расстояния между атомами.

Упругий стержень имеет еще одно фундаментальное свойство – утоньшаться при растяжении. То, что канаты при растяжении становятся тоньше, было известно давно, но специально поставленные опыты показали, что при растяжении упругого стержня всегда имеет место закономерность: если измерить поперечную деформацию e ", т.е. уменьшение ширины стержня d b , деленное на первоначальную ширину b , т.е.

и разделить ее на продольную деформацию e , то это отношение остается постоянным при всех значениях растягивающей силы P , то есть

(Полагают, что e "< 0 ; поэтому используется абсолютная величина). Константа v называется коэффициентом Пуассона (по имени французского математика и механика Симона Дени Пуассона) и зависит только от материала стержня, но не зависит от его размеров и формы сечения. Величина коэффициента Пуассона для разных материалов изменяется от 0 (у пробки) до 0,5 (у резины). В последнем случае объем образца в процессе растяжения не изменяется (такие материалы называются несжимаемыми). Для металлов значения различны, но близки к 0,3.

Модуль упругости E и коэффициент Пуассона вместе образуют пару величин, которые полностью характеризуют упругие свойства любого конкретного материала (имеются в виду изотропные материалы, т.е. такие, у которых свойства не зависят от направления; пример древесины показывает, что это не всегда так – ее свойства вдоль волокон и поперек волокон сильно различаются. Это – анизотропный материал. Анизотропными материалами являются монокристаллы, многие композиционные материалы (композиты) типа стеклопластика. Такие материалы тоже в известных пределах обладают упругостью, но само явление оказывается значительно более сложным).

Расчет пружины. Рассмотрим, каким образом можно получить зависимость удлинения пружины от приложенной нагрузки. Считаем по теоретическим формулам сопротивления материалов. Блокнот Mathemetica прилагается.

Расчет пружины. Общие сведения

Для автоматизации многочисленных подстановок, буду применять Mathematica Online. Приведу сразу снимок блокнота. Теория далее. Задействованы ReplaceAll в краткой форме и Solve.

Блокнот Mathematica Online. Вывод формулы коэффициента жесткости пружины.

Cчитаем, что пружина это скручивающийся стержень. У кусочка проволоки, из которого навита пружина, есть некоторая длина (это будет длина стержня). Диаметр проволоки равен .

Энергия деформации

Для энергии (Дж) деформации крутящегося стержня имеем следующее выражение:

Здесь: — объем стержня (проволоки пружины), — модуль сдвига (для стали равен Па), — максимальное касательное напряжение на поверхности стержня, — площадь поперечного сечения проволоки, из которой свита пружина, — длина проволоки, из которой свита пружина. Без зацепов и поджатых витков. Площадь поперечного сечения может быть выражена через диаметр проволоки:

Как известно, напряжения в стержне при кручении меняются от нуля в центре до максимума на поверхности стержня. То есть: — для касательных напряжений в произвольной точке стержня на расстоянии от оси вращения. Для максимальных касательных напряжений, радиус максимален и равен радиусу проволоки, поэтому: . Здесь — радиус точки в которой вычисляется напряжение (максимальный радиус равен ), — диаметр проволоки, — полярный момент инерции сечения проволоки. Для проволоки круглого сечения момент равен: . — момент кручения стержня, выражается через силу , которая приложена к пружине по оси спирали:

Таким образом, подставив все величины в формулу для определения энергии деформации, мы получим следующее выражение энергии (см. ячейку 15 блокнота Mathematica):

Работа силы на свободном конце пружины

С другой стороны, работа, совершаемая некоторой силой на перемещение нижнего конца пружины при растяжении должна быть равна энергии деформации. Известно, что усилие для растяжения пружины не постоянно, чем больше растягиваем, тем больше усилие. Закон линеен. Поэтому работа равна площади треугольника под графиком линейной функции, то есть:

Зависимость перемещения Y от силы F

Приравнивая работу (Дж) к энергии (Дж), получаем уравнение:

Забыл кое-что выразить. — длина проволоки в спирали может быть подсчитана так: , где — диаметр спирали, — число витков.

Сделаем замену в уравнении и выразим (Ячейка 18):

т.е. , где

(Н/м) — это искомый коэффициент жесткости цилиндрической пружины. Обратите внимание на то, что жесткость прямо пропорциональна диаметру проволоки в четвертой степени и обратно пропорциональна диаметру пружины в кубе. Это означает, что увеличение диаметра проволоки в два раза при прочих размерах без изменений, увеличит жесткость в раз. А увеличение диаметра пружины в два раза при прочих размерах без изменений, уменьшит жесткость в раз.

На практике, приходится учитывать некоторые нюансы. Например, диаметр проволоки может быть не любым а только таким, который выпускается промышленностью. У пружины, кроме жесткости есть такая характеристика, как ресурс и режим работы. Учитывается даже соударение витков — вспомните магическую пружинку Слинки, которую Эйс Вентура с монастыря спускал, так вот, у ней всегда витки соударяются. Кроме того, выведенная формула жесткости не учитывает криволинейность оси проволоки, свитой в пружину. Для этого существует специальный поправочный коэффициент, входящий в формулу для вычисления касательного напряжения. Этот коэффициент зависит от индекса пружины . Пружины на практике рассчитываются в соответствии с нормативной документацией:

Методика определения размеров пружин дана в ГОСТ 13765-86 — «Пружины винтовые цилиндрические сжатия и растяжения из стали круглого сечения. Обозначение параметров, методика определения размеров».

Расчет пружины выполняется по ГОСТ, см. В.И. Анурьев — «Справочник конструктора машиностроителя» Том 3, стр 199. Издание 2001 г.

Имеет размерность / или кг/с 2 (в СИ), дин /см или г/с 2 (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе , которую надо приложить к пружине , чтобы её длина изменилась на единицу расстояния .

Определение и свойства

Коэффициент упругости по определению равен силе упругости , делённой на изменение длины пружины: $k\; =\; F\_\backslash mathrm\{e\}\; /\; \backslash Delta\; l.$ Коэффициент упругости зависит как от свойств материала , так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения $S$ и длины $L$), записав коэффициент упругости как $k\; =\; E\; \backslash cdot\; S\; /\; L.$ Величина $E$ называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня .

Жёсткость деформируемых тел при их соединении

При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости - пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном - уменьшается.

Параллельное соединение

При параллельном соединении $n$ $k\_1,\; k\_2,\; k\_3,...,k\_n,$ жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть $k=\; k\_1\; +\; k\_2\; +\; k\_3\; +\; ...\; +\; k\_n.$

Доказательство

В параллельном соединении имеется $n$ пружин с жёсткостями $k\_1,\; k\_2,\; ...\; ,\; k\_n.$ Из III закона Ньютона, $F\; =\; F\_1\; +\; F\_2\; +\; ...\; +\; F\_n.$ (К ним прикладывается сила $F$. При этом к пружине 1 прикладывается сила $F\_1,$ к пружине 2 сила $F\_2,$ … , к пружине $n$ сила $F\_n.$)

Теперь из закона Гука ($F\; =\; -k\; x$, где x - удлинение) выведем: $F\; =\; k\; x;\; F\_1\; =\; k\_1\; x;\; F\_2\; =\; k\_2\; x;\; ...;\; F\_n\; =\; k\_n\; x.$ Подставим эти выражения в равенство (1): $k\; x\; =\; k\_1\; x\; +\; k\_2\; x\; +\; ...\; +\; k\_n\; x;$ сократив на $x,$ получим: $k\; =\; k\_1\; +\; k\_2\; +\; ...\; +\; k\_n,$ что и требовалось доказать.

Последовательное соединение

При последовательном соединении $n$ пружин с жёсткостями, равными $k\_1,\; k\_2,\; k\_3,...,k\_n,$ общая жёсткость определяется из уравнения: $1/k=(1\; /\; k\_1\; +\; 1\; /\; k\_2\; +\; 1\; /\; k\_3\; +\; ...\; +\; 1\; /\; k\_n).$

Доказательство

В последовательном соединении имеется $n$ пружин с жёсткостями $k\_1,\; k\_2,\; ...\; ,\; k\_n.$ Из закона Гука ($F\; =\; -k\; l$, где l - удлинение) следует, что $F\; =\; k\; \backslash cdot\; l.$ Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения $l\_1\; +\; l\_2+\; ...\; +\; l\_n\; =\; l.$

На каждую пружину действует одна и та же сила $F.$ Согласно закону Гука, $F\; =\; l\_1\; \backslash cdot\; k\_1\; =\; l\_2\; \backslash cdot\; k\_2\; =\; ...\; =\; l\_n\; \backslash cdot\; k\_n\; .$ Из предыдущих выражений выведем: $l\; =\; F/k,\; \backslash quad\; l\_1\; =\; F\; /\; k\_1,\; \backslash quad\; l\_2\; =\; F\; /\; k\_2,\; \backslash quad\; ...,\; \backslash quad\; l\_n\; =\; F\; /\; k\_n.$ Подставив эти выражения в (2) и разделив на $F,$ получаем $1\; /\; k\; =\; 1\; /\; k\_1\; +\; 1\; /\; k\_2\; +\; ...\; +\; 1\; /\; k\_n,$ что и требовалось доказать.

Жёсткость некоторых деформируемых тел

Стержень постоянного сечения

Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

$k=\backslash frac\{E\; \backslash ,\; S\}\{L\_0\},$ Е - модуль Юнга , зависящий только от материала, из которого выполнен стержень; S - площадь поперечного сечения; L 0 - длина стержня.

Цилиндрическая витая пружина

Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

$k\; =\; \backslash frac\{G\; \backslash cdot\; d\_\backslash mathrm\{D\}^4\}\{8\; \backslash cdot\; d\_\backslash mathrm\{F\}^3\; \backslash cdot\; n\},$ d D - диаметр проволоки; d F - диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки); n - число витков; G - модуль сдвига (для обычной стали G ≈ 80 ГПа , для пружинной стали G ≈ 78500 МПа, для меди ~ 45 ГПа ).

См. также

Источники и примечания

Напишите отзыв о статье "Коэффициент упругости"

Отрывок, характеризующий Коэффициент упругости

При производстве на предприятии и для применения необходимо определить способность пружины выдерживать определенные типы нагрузок. Для этого высчитывается т.н. коэффициент Гука – обозначение жесткости пружины, от которого зависит её надёжность. На этот параметр влияет материал, выбранный для изготовления. Это может быть сталь, легированная кремнием, ванадием, марганцем, другими добавками. Также применяются нержавейка, бериллиевая и кремнемарганцевая бронза, сплавы на основе никеля и титана.

Если деталь выпускается для применения при высоких нагрузках, экстремальных температурах, используются специальные марки легированной стали. Нижегородская метизная корпорация имеет возможность производить пружины под заказ, создавая изделия с заданными характеристиками.

Что такое жесткость?

Говоря о практике, а не физических терминах, это сила, приложив которую, можно сжать пружину. Если вы знаете прилагаемое усилие, можно определить, какой будет деформация, и наоборот. Это существенно облегчает вычисления.

Коэффициент высчитывается для пружин кручения, растяжения, изгиба, сжатия – всех наиболее популярных в промышленности разновидностей этого изделия. Также следует отметить два основных типа:

• С линейной (постоянной) жесткостью;
• С прогрессивной (зависящей от положения витков) жесткостью.

Часто производитель наносит на готовую продукцию пометку краской. Если такого обозначения нет, применяется формула определения жесткости пружины через массу и длину, упрощающая задачу. Она изначально разрабатывалась для пружин растяжения, была получена методом измерения соответствия массы грузы с изменениями геометрии.

Также данный параметр может быть прогрессирующим – растущим - или регрессирующим – убывающим. Во втором случае параметр "жесткости" принято называть "мягкостью". В отдельных механизмах, например, в автомобилестроении, этот параметр особенно актуален.

Какие вводные данные требуются?

При расчёте важно знать следующую информацию:

• Из какого материала выполнено изделие;
• Точный диаметр витков – Dw ;
• Общий диаметр самой пружины – Dm ;
• Количество витков – Na .

Таким образом, к коэффициенту жесткости пружинного механизма может применяться формула:

k=G*(Dw)^4/8 * Na * (Dm)^3 .

Переменная G означает модуль сдвига. Это значение можно найти в таблицах для разных материалов. К примеру, у пружинной стали G=78,5 ГПа .

Длина L бывает двух типов:

• L1 – измеренная в вертикальном положении без груза;
• L2 – полученная при подвешивании груза с точно известной массой.

Например, 100 -граммовая гиря, закреплённая в нижней части, воздействует с силой F , равной 1 Н . Получаем разницу между двумя показателями длины:

L = L2 – L1 .

При этом следует уточнить, что степень жесткости не определяет распрямление в исходное состояние. На него воздействуют сразу несколько факторов.

Насколько важен показатель, и на что он влияет?

Характеристики пружины важны не только для соответствия ГОСТам и проведения сертификации. Они влияют на сроки эксплуатации изделий, в которых используются, а это огромное количество приборов, деталей, механизмов, от мебели, до различных транспортных средств.

Поэтому данная величина напрямую влияет на надёжность готовых изделий, оборудования, техники, в которых используются элементы, содержащие пружины.

Часто люди интересуются, как рассчитать жесткость пружины цилиндрической винтовой. Для таких случаев учитывается не только модуль сдвига, но и параметр Rs – напряжение, допускаемое при кручении. Здесь в расчёт берётся тип материала, его физические свойства, механические характеристики.

Следующий вопрос – в чем измеряется коэффициент жесткости пружины при расчётах. Традиционно в системе измерений, принятой в нашей стране принято записывать значение в Н/м – ньютонах на один метр. Также это значение в качестве альтернативного варианта может записываться в килограммах на квадратный сантиметр, дин/см, граммах на квадратный сантиметр (расчёты в системе СГС).

Груз, подвешенный на пружине, вызывает ее деформацию. Если пружина способна восстановить первоначальную форму, то ее деформация называется упругой.

При упругих деформациях выполняется закон Гука:

где F упр ¾ сила упругости; k ¾ коэффициент упругости (жесткость); Dl - удлинение пружины.

Примечание : знак “-” определяет направление силы упругости.

Если груз находится в равновесии, то сила упругости численно равна силе тяжести: k Dl = m g , тогда можно найти коэффициент упругости пружины:

где m ¾ масса груза; g ¾ ускорение свободного падения.

Рис.1		Рис. 2

При последовательном соединении пружин (см. рис.1) силы упругости, возникающие в пружинах, равны между собой, а общее удлинение системы пружин складывается из удлинений в каждой пружине.

Коэффициент жесткости такой системы определяется по формуле:

где k 1 - жесткость первой пружины; k 2 - жесткость второй пружины.

При параллельном соединении пружин (см. рис. 2) удлинение пружин одинаково, а результирующая сила упругости равна сумме сил упругости в отдельных пружинах.

Коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин находится по формуле:

k рез = k 1 + k 2 . (3)

Порядок выполнения работы

1. Прикрепить пружину к штативу. Подвешивая к каждой пружине грузы в порядке возрастания их массы, измерять удлинение пружины Dl .

2. По формуле F = mg рассчитать силу упругости.

3. Построить графики зависимости силы упругости от величины удлинения пружины. По виду графиков определить выполняется ли закон Гука.

5. Найти абсолютную погрешность каждого измерения

Dk i = êk i - k ср ê.

6. Найти среднее арифметическое значение абсолютной погрешности D k ср.

7. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу.

1. Провести измерения (как описано в задании 1) и рассчитать коэффициенты упругости последовательно и параллельно соединенных пружин.

2. Найти среднее значение коэффициентов и погрешности их измерений. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.

4. Найти погрешность эксперимента, сравнив теоретические значения коэффициента упругости с экспериментальными по формуле:

.

Контрольные вопросы

Сформулируйте закон Гука.

Дайте определение деформации, коэффициента упругости. Назовите единицы измерения этих величин в СИ.

Как находится коэффициент упругости для параллельного и последовательного соединения пружин?

Лабораторная работа № 1-5

Изучение законов динамики

Поступательного движения

Теоретические сведения

Динамика изучает причины, вызывающие механическое движение.

Инерция - способность тела сохранять состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, если на это тело не действуют другие тела.

Масса m (кг) - количественная мера инертности тела.

Первый закон Ньютона :

Существуют такие системы отсчета, в которых тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, если на него не действуют другие тела.

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными .

Сила (Н ) - векторная величина, характеризующая взаимодействие между телами или частями тела.

Принцип суперпозиции сил :

Если на материальную точку действуют одновременно силы и , то их можно заменить равнодействующей силой .