Дифференцирующие и интегрирующие цепи. Дифференцирующие цепи

В импульсных устройствах задающий генератор часто вырабатывает импульсы прямоугольной формы определенной длительности и амплитуды, которые предназначаются для представления чисел и управления элементами вычислительных устройств, устройств обработки информации и др. Однако для правильного функционирования различных элементов в общем случае требуются импульсы вполне определенной формы, отличной от прямоугольной, имеющие заданные длительность и амплитуду. Вследствие этого возникает необходимость предварительно преобразовывать импульсы задающего генератора. Характер преобразования может быть разным. Так, может потребоваться изменить амплитуду или полярность, длительность задающих импульсов, осуществить их задержку во времени.

Преобразования в основном осуществляются с помощью линейных цепей - четырехполюсников, которые могут быть пассивными и актив­ными. В рассматриваемых цепях пассивные четырехполюсники не содер­жат в своем составе источников питания, активные используют энергию внутренних или внешних источников питания. С помощью линейных цепей осуществляются такие преобразования, как дифференцирование, интегрирование, укорочение импульсов, изменение амплитуды и поляр­ности, задержка импульсов во времени. Операции дифференцирования, интегрирования и укорочения импульсов выполняются соответственно дифференцирующими, интегрирующими и укорачивающими цепями. Изменение амплитуды и полярности импульса может производиться с помощью импульсного трансформатора, а задержка его во времени - линией задержки.

Интегрирующая цепь . На рис. 19.5 приведена схема простейшей цепи (пассивного четырехполюсника), с помощью которой можно выполнить операцию интегрирования входного электрического сигнала, подан­ного на зажимы 1-1 | , если выходной сигнал снимать с зажимов 2-2".

Составим уравнение цепи для мгновенных значений токов и напря­жений по второму закону Кирхгофа:

Отсюда следует, что ток цепи будет изменяться по закону

Если выбрать постоянную временидостаточно большой, то вторым слагаемым в последнем уравнении можно пренебречь, тогдаi(t) = u вх (t)/R.

Напряжение на конденсаторе (на зажимах 2-2") будет равно

(19.1)

Из (19.1) видно, что цепь, приведенная на рис. 19.5, выполняет опе­рацию интегрирования входного напряжения и умножения его на коэф­фициент пропорциональности, равный обратному значению постоянной времени цепи:

Временная диаграмма выходного напряжения интегрирующей цепи при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов показана на рис. 19.6.

Дифференцирующая цепь . С помощью цепи, схема которой приведена на рис. 19.7 (пассивного четырехполюсника), можно выполнять операцию дифференцирования входного электрического сигнала, поданного на зажимы 1-1", если выходной сигнал снимать с зажимов 2-2". Составим уравнение цепи для мгновенных значений тока и напряжений по второму закону Кирхгофа:

Если сопротивление R мало и членом i(t)R можно пренебречь, то ток в цепи и выходное напряжение цепи, снимаемое с R,

(19.2)

Анализируя (19.2), можно видеть, что с помощью рассматриваемой цепи выполняют операции дифференцирования входного напряжения и умножения его на коэффициент пропорциональности, равный постоян­ной времени τ = RC. Форма выходного напряжения дифференцирующей цепи при подаче на вход серии прямоугольных импульсов приведена на рис. 19.8. В этом случае теоретически выходное напряжение должно представлять собой знакопеременные импульсы бесконечно большой амплитуды и малой (близкой к нулю) длительности.

Однако вследствие различия свойств реальной и идеальной диф­ференцирующих цепей, а также конечной крутизны фронта импульса на выходе получают импульсы, амплитуда которых меньше амплитуды входного сигнала, а длительность их определяется как t и = (3 ÷ 4) τ = (3 ÷ 4)RС.

В общем случае форма выходного напряжения зависит от соотно­шения длительности импульса входного сигнала t и и постоянной вре­мени дифференцирующей цепи τ. В момент t 1 входное напряжение при­ложено к резистору R, так как напряжение на конденсаторе скачком изменяться не может. Затем напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону, а напряжение на резисторе R, т. е. выходное напряжение, снижается по экспоненциальному закону и становится рав­ным нулю в момент t 2 , когда зарядка конденсатора закончится. При малых значениях τ длительность выходного напряжения мала. Когда напряжение u BX (t) становится равным нулю, конденсатор начинает разряжаться через резистор R. Таким образом формируется импульс обратной полярности.

П
ассивные интегрирующие и дифференцирующие цепи имеют сле­дующие недостатки: обе математические операции реализуются прибли­женно, с известными погрешностями. Приходится вводить корректи­рующие звенья, которые, в свою очередь, сильно снижают амплитуду выходного импульса, т. е. без промежуточного усиления сигналов практически невозможныn-кратные дифференцирование и интегриро­вание.

Эти недостатки не свойственны активным дифференцирующему и интегрирующему устройствам. Одним из возможных способов реали­зации этих устройств является применение операционных усилителей (см. гл. 18).

Активное дифференцирующее устройство . Схема такого устройства на операционном усилителе приведена на рис. 19.9. Ко входу 1 подключен конденсатор С, а в цепь обратной связи включен резистор R oc . Так как входное сопротивление чрезвычайно велико (R вх -> ∞), то входной ток обтекает схему по пути, указанному пунктиром. С другой сторо­ны, напряжение и вхОУ в этом включении очень мало, так как К u -> ∞, поэтому потенциал точки В схемы практически равен нулю. Следовательно, ток на входе

(19.3)

Ток на выходе i(t) одновременно является зарядным током кон­денсатора С: dq= Сdu BX (t), откуда

(19.4)

Приравнивая левые части уравнений (19.3) и (19.4), можно написать -и вых (t)/R oc = С du вх (t)/dt, откуда

(19.5)

Таким образом, выходное напряжение операционного усилителя является произведением производной входного напряжения по времени, умноженной на постоянную времени τ = R ОС С.

А
ктивное интегрирующее устройство . Схема интегрирующего устройст­ва на операционном усилителе, приведенная на рис. 19.10, отличается от дифференцирующего устройства рис. 19.9 только тем, что конденсатор С и резистор R oc (на рис. 19.10 -R 1) поменялись местами. По-прежнему R вх -> ∞ и коэффициент усиления по напряжению К u -> ∞. Следовательно, в устройстве конденсатор С заряжается током i(t) =u BX (t)/R 1 . Так как напряжение на конденсаторе практически равно выходному напряжению (φ B = 0), а операционный усилитель изменяет фазу входного сигнала на выходе на угол π, имеем

(19.6)

Таким образом, выходное напряжение активного интегрирующего устройства есть произведение определенного интеграла от входного напряжения по времени на коэффициент 1/τ.

Лабораторная работа

«Дифференцирующие и интегрирующие цепи»

Полянчев С., Коротков Р.

Цели работы: ознакомление с принципом действия, основными свойствами и параметрами дифференцирующих и интегрирующих цепей, установление условия дифференцирования и интегрирования, определение постоянной времени.

Теоретическая часть.

В радиоэлектронике и экспериментальной физике возникает необходимость преобразования формы сигналов. Часто это может быть выполнено путём их дифференцирования или интегрирования. Например, при формировании запускающих импульсов для управления работой ряда устройств импульсной техники (дифференцирующие цепи) или при выделении полезного сигнала на фоне шумов (интегрирующие цепи).

Анализ простейших цепей для дифференцирования и интегрирования сигналов

Дифференцирующей называется радиотехническая цепь, с выхода которой может сниматься сигал, пропорциональный производной от входного сигнала U вых (t) ~ dU вх (t)/dt(1)

Аналогично, для интегрирующей цепи: U вых (t) ~ òU вх (t)dt(2)

Поскольку дифференцирование и интегрирование являются линейными математическими операциями, указанные выше преобразования сигналов могут осуществляться линейными цепями, т.е. схемами, состоящими из постоянных индуктивностей, емкостей и сопротивлений.

Рассмотрим цепь с последовательно соединёнными R, C и L, на вход которой подаётся сигал U вх (t) (рис.1).

Выходной сигал в такой цепи можно снимать с любого её элемента. При этом:

U R +U C +U L = Ri(t) + 1/c òi(t)dt + L di(t)/dt = U вх (t). (3)

Очевидно, что поскольку значения U R , U C и U L определяются параметрами R, C и L, то подбором последних могут быть осуществлены ситуации, когдаU R , U C и U L существенно неодинаковы. Рассмотрим для случая цепи, в которой U L » 0 (RC – цепь).

А) U C >> U R , тогда из (3) имеем:

i(t) = C dU вх (t)/dt (4)

Отсюда следует, что напряжения на сопротивлении пропорционально производной от входного сигнала:

U R (t) = RCdU вх (t)/dt = t 0 dU вх (t)/dt. (5)

Таким образом, мы приходим к схеме дифференцирующего четырёхполюсника, показанной на рис.2, в которой выходной сигал снимается с сопротивления R.

Б) U R >> U C . В этом случае из (3) получаем: i(t) = U вх (t)/R(6) и напряжение на емкости равно:

U C = 1/RCòU вх (t)dt = 1/t 0 òU вх (t)dt. (7)

Видно, что для осуществления операции интегрирования необходимо использовать RC-цепочку в соответствии со схемой на рис.3.

Для получения как эффекта дифференцирования, так и интегрирования, сигнал надо снимать с элемента, на котором наименьшее падение напряжения. Величина U вых (t) определяется значением постоянной времени t 0 , равной RC для RC-цепочки.

Очевидно, что эффекты дифференцирования и интегрирования в общем случае отвечают, соответственно, относительно малым и большим t 0 .

Условия дифференцирования и интегрирования

Уточним теперь, как связаны условия А и Б, а также использованные выше понятия «малого» и «большого» t 0 с параметрами R, C, L и характеристиками сигнала.

Пусть входной сигнал U вх (t) обладает спектральной плотностью

Тогда при точном дифференцировании для выходного сигнала получим:

откуда следует, что коэффициент передачи идеального дифференцирующего четырёхполюсника (

Рассмотренная нами дифференцирующая цепь (рис.2) имеет коэффициент передачи:

Из сравнения (14) и (15) видно, что рассмотренная нами цепь будет тем ближе к идеальной, чем лучше выполняется условие

wt 0 << 1 (16)

Причём, для всех частот в спектре входного сигнала. Для упрощения оценки в неравенство (16) обычно подставляют максимальную частоту в спектре входного сигнала w m t 0 << 1.

Итак, чтобы продифференцировать некоторый сигнал, необходимо найти его спектральный состав и собрать RC-цепь с постоянной времени t 0 << w m -1 , где w m – максимальная частота в спектре входного сигнала.

Отметим, что для импульсных сигналов верхнюю границу полосы частот можно оценить по формуле (2) w m = 2p/t u , где t u – длительность импульса. Т.о., в этом случае условие дифференцирования запишется в виде

t 0 << t u (17)

Совершенно аналогично можно показать, что для удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия

wt 0 >> 1 (18)

также для всех частот спектра входного сигнала, в том числе и для самой нижней. Аналогично для интегрирования импульсов длительностью t u условие интегрирования запишется в виде

t 0 << t u (19)

Из неравенств (16), (18) следует, что при заданной цепи дифференцирование осуществляется тем точнее, чем ниже частоты, на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование – чем выше эти частоты. Чем точнее дифференцирование или интегрирование, тем меньше величина выходного сигнала.

Прохождение прямоугольных импульсов через RC -цепи

В качестве примера, иллюстрирующего дифференцирование и интегрирование сигналов, рассмотрим отклик RC-цепей, показанных на рис.2 и 3, на прямоугольный импульс. Возьмём цепь, на выходе которой стоит сопротивление (рис.2), найдём осциллограмму выходного напряжения, т.е. вид U R (t). Пусть в момент времени t = 0 на входе возникает скачок напряжения U 0 (рис.4).

В этом случае для 0 < t < t u можно записать уравнение цепи в виде:

U 0 = 1/Còi(t)dt + U R (t). (17)

После дифференцирования получим

dU R /dt + U R /t 0 = 0. (18)

Поскольку ёмкость С не может зарядиться мгновенно, то для t = 0, U R = U 0 всё входное напряжение оказывается приложенным к сопротивлению. С учётом этого начального условия решение уравнения (18) запишется в виде:

Экспоненциальный спад выходного напряжения описывает процесс зарядки ёмкости через сопротивление R и соответствующее перераспределение напряжения между R и C. При этом постоянная времени t 0 характеризует скорость зарядки ёмкости и может быть интерпретирована как время, за которое напряжение U R уменьшится в е раз.

Для t 0 << t u экспоненциальная зависимость становится резче, в результате на выходе наблюдаем короткие импульсы в момент начала и окончания входного воздействия, являющиеся удовлетворительной аппроксимацией производной от входного сигнала (рис.4).

Если выходное напряжение снимается с конденсатора, то для 0 < t < t u получим:

и для t >= t u

Если цепь является интегрирующей, то выполняется неравенство t 0 >> t u , что позволяет использовать разложение экспоненты в ряд Тейлора.

RC цепь может изменять форму сложных сигналов так, что выходная форма будет совсем не похожа на входную. Величина искажения определяется постоянной времени RC цепи. Тип искажения определяется выходной компонентой, включенной параллельно выходу. Если параллельно выходу включен резистор, то цепь называется дифференцирующей. используется в цепях синхронизации, для получения узких импульсов из прямоугольных , а также для получения переключающих импульсов и меток. Если параллельно выходу включен конденсатор, то цепь называется интегрирующей. используется в цепях формирования сигналов в радио, телевидении, радиолокаторах и в компьютерах .

На рисунке изображена дифференцирующая цепь .

Напомним, что сложные сигналы состоят из основной частоты и большого числа гармоник. Когда сложный сигнал поступает на дифференцирующую цепь, она влияет на каждую частоту по разному. Отношение емкостного сопротивления (Х с) к R для каждой гармоники различно. Это приводит к тому, что каждая гармоника сдвигается по фазе и уменьшается по амплитуде в разной степени. В результате исходная форма сигнала искажается. На рисунке показано, что происходит с сигналом прямоугольной формы, прошедшим дифференцирующую цепь.

Подобна дифференцирующей, за исключением того, что параллельно выходу включен конденсатор.

На рисунке показано, как изменяется форма прямоугольного сигнала, прошедшего интегрирующую цепь.

Другим типом цепи, изменяющим форму сигнала, является ограничитель сигнала . На рисунке показана форма сигнала на входе ограничителя: отрицательная часть входного сигнала обрезана.

Цепь ограничения может быть использована для обрезания пиков приложенного сигнала, для получения прямоугольного сигнала из синусоидального, для удаления положительных или отрицательных частей сигнала или для поддержания амплитуды входного сигнала на постоянном уровне. Диод смещен в прямом направлении и проводит ток в течение положительного полупериода входного сигнала. В течение отрицательного полупериода входного сигнала диод смещен в обратном направлении и ток не проводит. Цепь является, по существу, однополупериодным выпрямителем .

Используя напряжение смещения можно регулировать величину обрезаемого сигнала. Параллельный ограничитель может быть смещен для изменения уровня ограничения сигнала. Если необходимо ограничить сигнал и с положительной, и с отрицательной сторон, используются два смещенных диода, включенных параллельно выходу. Это позволяет получить выходной сигнал с амплитудой, не превышающей заранее определенный положительный и отрицательный уровень. При таком преобразовании выходной сигнал приобретает форму, близкую к прямоугольной. Следовательно, эта цепь называется генератором прямоугольных колебаний. На рисунке изображена другая схема ограничителя, ограничивающего сигнал как с положительной стороны, так и с отрицательной с помощью двух стабилитронов.

Выходной сигнал ограничен с двух сторон напряжениями стабилизации стабилитронов. Между этими пределами ни один стабилитрон не проводит и входной сигнал проходит на выход.

Иногда желательно изменить уровень отсчета постоянного тока для сигнала переменного тока. Уровень отсчета постоянного тока — это уровень, относительно которого измеряется сигнал переменного тока. Фиксатор может использоваться для фиксации верхнего или нижнего значения сигнала при заданном постоянном напряжении. В отличие от ограничителя сигнала, фиксатор не изменяет форму сигнала. Диодный фиксатор называют восстановителем постоянной составляющей.

Эта цепь обычно используется в радиолокаторах, телевидении, телекоммуникациях и в компьютерах. В изображенной цепи на вход подан сигнал прямоугольной формы. Назначение цепи — ограничить максимальное значение сигнала напряжением 0 вольт без изменения формы сигнала.

Дифференцирующие цепи – это цепи, в которых напряжение на выходе пропорционально производной входного напряжения. Эти цепи решают две основные задачи преобразования сигналов: получение импульсов очень малой длительности (укорочение импульсов), которые используются для запуска управляемых преобразователей электрической энергии, триггеров, одновибраторов и других устройств; выполнение математической операции дифференцирования (получение производной по времени) сложных функций, заданных в виде электрических сигналов, что часто встречается в вычислительной технике, аппаратуре авторегулирования и др.

Схема емкостной дифференцирующей цепи показана на рис. 1. Входное напряжение прикладывается ко всей цепи, а выходное снимается с резистора R. Ток, протекающий через конденсатор, связан с напряжением на нем известным соотношением i C = C (dU C /dt). Учитывая, что этот же ток протекает через резистор R, запишем выходное напряжение

Если U ВЫХ << U ВХ, что справедливо, когда падение напряжения на резисторе много меньше напряжения U С, то уравнение можно записать в приближенном виде U ВЫХ . Соотношение U ВЫХ << U ВХ » U C выполняется, если величина сопротивления R много меньше величины реактивного сопротивления конденсатора, т.е. R << 1/wC (для сигнала синусоидальной формы) и R << 1/w в C, где w в – частоты высшей гармоники импульсного сигнала.

Величина t = RC называется постоянной времени цепи. Из курса электричества известно, что конденсатор заряжается (разряжается) через резистор по экспоненциальному закону. Через промежуток времени t = t = RC конденсатор заряжается на 63 % от поданного входного напряжения, через t = 2,3 t - до 90 % от U ВХ и через 4,6 t - до 99 % от U ВХ.

Пусть на вход дифференцирующей цепи (рис. 1) подан прямоугольный импульс длительностью t И (рис. 2, а). Пусть t И = 10 t. Тогда выходной сигнал будет иметь форму, показанную на рис. 2, г. Действительно, в начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно нулю, и мгновенно оно измениться не может. Поэтому все входное напряжение прикладывается к резистору. В дальнейшем конденсатор заряжается экспоненциально убывающим током. При этом напряжение на конденсаторе увеличивается, а напряжение на резисторе уменьшается так, что в каждый момент времени выполняется равенство U BX = U C + U ВЫХ. Через промежуток времени t ³ 3 t конденсатор заряжается практически до входного напряжения, зарядный ток прекратится и выходное напряжение станет равным нулю.

Когда входной импульс закончится (U BX = 0), конденсатор начнет разряжаться через резистор R и входную цепь. Направление тока разряда противоположно направлению зарядного тока, поэтому полярность напряжения на резисторе меняется. По мере разряда конденсатора напряжение на нем уменьшается, а вместе с ним уменьшается напряжение на резисторе R. В результате получаются укороченные импульсы (при t И > 4¸5 RC). Изменение формы импульса при других соотношениях длительности импульса и постоянной времени показано на рис. 2,б,в.

Интегрирующая цепь – это цепь, у которой выходное напряжение пропорционально интегралу по времени от входного напряжения. Отличаются интегрирующие цепи (рис. 3) от дифференцирующих (рис. 1) тем, что выходное напряжение снимается с конденсатора. Когда напряжение на конденсаторе С незначительно по сравнению с напряжением на резисторе R, т.е. U ВЫХ = U C << U R , то ток i в цепи пропорционален входному напряжению, которое прикладывается ко всей цепи. Поэтому

Сложные радиоэлектронные устройства состоят из простых цепей. Рассмотрим цепь, состоящую из резистора и конденсатора, включенных последовательно с идеальным генератором напряжения, показанную на рис. 3.3.

Рис.3.3. Дифференцирующая цепь

Если выходное напряжение снимается с резистора, то цепь называется дифференцирующей, если с конденсатора – интегрирующей. Эти линейные цепи характеризуются стационарными и переходными характеристиками. Это связано с тем, что изменение величины действующего в цепи напряжения приводит к тому, что токи и напряжения в различных участках цепи приобретают новые значения. Изменение состояния цепи происходит не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени. Поэтому различают установившееся и переходное состояние электрической цепи.

Электрические процессы считаются установившимися (стационарными), если закон изменения всех напряжений и токов совпадает с точностью до постоянных величин с законом изменения действующего в цепи напряжения от внешнего источника. В противном случае считают, что цепь находится в переходном (нестационарном) состоянии.

К стационарным характеристикам относятся амплитудно-частотная и фазовая характеристики линейной цепи.

Нестационарное состояние линейной цепи описывается переходной характеристикой.

Будем считать, что к входу цепи подключен идеальный генератор напряжения . На основании второго закона Кирхгофа для дифференцирующей цепи можно записать дифференциальное уравнение, связывающее напряжения и ток в ветвях цепи:

(3.2)

Так как напряжение на выходе цепи , то:

(3.3)

Подставляя в интеграл значение тока, получим:

(3.4)

Продифференцируем левую и правую части последнего уравнения по времени:

(3.5)

Перепишем это уравнение, в следующем виде:

, (3.6)

Где =— параметр цепи называемый постоянной времени цепи.

В зависимости от величины постоянной времени возможны два различных соотношения между первым и вторым слагаемыми правой части уравнения.

Если постоянная времени большая по сравнению с периодом гармонических сигналов >>Или с длительностью импульсов >>, которые можно подавать на вход этой цепи, то

И напряжение на выходе цепи с небольшими искажениями повторяет входное напряжение:

Если же постоянная времени мала по сравнению с периодом гармонических сигналов <<Или с длительностью импульсов <<, то

Отсюда напряжение на выходе равно:

Таким образом, в зависимости от величины постоянной времени такая -цепь может либо с определенными искажениями передавать входной сигнал на выход, либо с определенной степенью точности его дифференцировать. При этом форма выходного сигнала будет разной. Ниже на рис. 3.4 представлены входное напряжение, напряжения на резисторе и конденсаторе для случаев, когда постоянная времени велика и постоянная времени мала .

А Б

Рис. 3.4. Напряжения на элементах дифференцирующей цепи при (А ) и (Б )

В начальный момент времени на резисторе появляется скачок напряжения, равный амплитуде входного сигнала, а затем начинается заряд конденсатора, во время которого напряжение на резисторе будет уменьшаться.

Когда постоянная времени , конденсатор не успевает зарядиться до амплитуды входного импульса и -цепь с небольшими искажениями передает входной сигнал на выход. При << конденсатор успеет полностью зарядиться до амплитуды входного напряжения за время действия первого импульса, а за время паузы между импульсами – полностью разрядиться. При этом на выходе цепи появляются укороченные импульсы, приблизительно соответствующие производной от входного сигнала. Считается, что когда Цепочка дифференцирует входной сигнал.

Теперь определим коэффициент передачи дифференцирующей цепи. Комплексный коэффициент передачи дифференцирующей цепи при подаче на вход гармонического сигнала равен:

. (3.11)

Обозначим отношение , где — граничная частота полосы пропускания дифференцирующей цепи.

Выражение для коэффициента передачи примет вид:

Модуль коэффициента передачи равен:

. (3.13)

— граничная частота полосы пропускания, на которой модуль реактивного сопротивления становится равным величине активного сопротивления, а коэффициент передачи цепи равен . Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты называется амплитудно–частотной характеристикой (АЧХ).

Зависимость угла сдвига фаз между выходным и входным напряжениями от частоты называется фазовой характеристикой (ФЧХ). Фазовая характеристика:

Ниже на рис. 3.5 представлены АЧХ и ФЧХ дифференцирующей цепи:

Рис. 3.5. Амплитудно–частотная и фазовая характеристики

Дифференцирующей цепи

Из амплитудно-частотной характеристики видно, что прохождение сигналов через дифференцирующую цепь сопровождается уменьшением амплитуд низкочастотных составляющих его спектра. Дифференцирующая цепь является фильтром высоких частот.

Из фазовой характеристики видно, что фазы низкочастотных составляющих сдвигаются на больший угол, чем фазы высокочастотных составляющих.

Переходную характеристику дифференцирующей цепи можно получить, если на вход подать напряжение в виде единичного скачка. Комплексный коэффициент передачи равен