Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Признаки монотонности функции
Абсолютная погрешность
Определение
Величина абсолютной разности между точным и приближенным u0 значением величины называется абсолютной погрешностью приближенной величины u0. Абсолютную погрешность обозначают $\Delta $u:
$\Delta u = |u - u0| $
Чаще всего точное значение u, а следовательно, и абсолютная погрешность $\Delta $u неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.
Граница погрешности приближенной величины
Определение
Любое положительное число больше либо равное абсолютной погрешности является границей погрешности приближенной величины:
\[|u-u_{0} |=\Delta _{u} \le \overline{\Delta _{u} }\]
Значит, точное значение величины содержится между $u_{0} -\overline{\Delta _{u} }$ и $u_{0} +\overline{\Delta _{u} }$
Если граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины u равна $\overline{\Delta _{u} }$, то говорят, что величина u найдена с точностью $\overline{\Delta _{u} }$.
Относительная погрешность и ее граница
Определение
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности $\Delta $u к модулю приближенного значения u0 измеряемой величины.
Обозначая относительную погрешность символом $\delta $u, получим
\[\delta _{u} =\frac{\Delta _{u} }{\left|u_{0} \right|} \]
Определение
Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения измеряемой величины:
\[\overline{\delta _{u} }=\frac{\overline{\Delta _{u} }}{\left|u_{0} \right|} \]
$\delta _{u} $ и $\overline{\delta _{u} }$ часто выражают в процентах.
Дифференциал функции
Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:
dy = f "(x) $\Delta $х
В ряде случаев, вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:
\[\Delta y\approx dy\]
Поскольку
\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \
Наращенное значение функции имеет вид:
С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке $x + \Delta х$, близкой к х по известному значению функции.
Для приближенных вычислений используется формула:
\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]
Например:
- Приближенно вычислить $(1,02)^3$
- Приближенно вычислить $\sqrt{1,005} $
Где $\Delta $х = 0,03, n = 5
\[(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3\]
Где $\Delta $х = 0,03, n = 5
\[(1,02)^{3} \approx 1,06\]
Где $\Delta $х = 0,005, n =0,5
\[\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt{1,005} \approx 1,0025\]
Пример 1
Приближенно рассчитать увеличение объема цилиндра с высотой H = 40см. и радиусом основания R = 30см при увеличении радиуса основания на 0,5 см.
Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе основания R это функция вида:
Запишем приращение функции:
\ \[\Delta V\approx 2\pi HR\cdot \Delta R\]
Заменим известные величины
\[\Delta V\approx 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \approx 3770 см^{3} \]
Пример 2
Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.
Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:
\[\delta _{s} =\frac{\Delta s}{s} \]
Приближенное значение получается в следствие замены $\Delta $s на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:
\[\delta _{s} =\frac{ds}{s} \]
Поскольку площадь круга с радиусом х равна:
\ \
Таким образом,
\[\delta _{s} =\frac{\frac{1}{2} \pi xdx}{\frac{1}{4} \pi x^{2} } =2\frac{dx}{x} \]
Заменим х и dx числовыми значениями
\[\delta _{s} =2\frac{0,01}{5,2} \approx 0,004\]
(что составляет погрешность 4%)
Рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала .
Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости часто будем говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.
Кроме того, в разделе присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешностей вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах.
Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с нахождения производной в точке и с нахождения дифференциала в точке . Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать возможности MS Excel, но в данном случае он менее удобен.
Урок состоит из двух частей:
– Приближенные вычисления с помощью дифференциала значения функции одной переменной в точке.
– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала значения функции двух переменных в точке.
Рассматриваемое задание тесно связано с понятием дифференциала, но, поскольку урока о смысле производной и дифференциала у нас пока нет, ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через y или через f (x ). Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:
Пример 1
Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:
Начинаем разбираться, здесь всё просто!
На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: .
Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .
Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.
В качестве x 0 подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело . Естественно, это значение x 0 должно быть как можно ближе к 67.
В данном случае x 0 = 64. Действительно, .
Примечание: Когда с подбором
x
0 всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае
), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае
). В результате и будет выполнен нужный подбор
x
0 = 64.
Если x 0 = 64, то приращение аргумента: .
Итак, число 67 представлено в виде суммы
Сначала вычислим значение функции в точке x 0 = 64. Собственно, это уже сделано ранее:
Дифференциал в точке находится по формуле:
– эту формулу тоже можете переписать к себе в тетрадь.
Из формулы следует, что нужно взять первую производную:
И найти её значение в точке x 0:
.
Таким образом:
Всё готово! Согласно формуле :
Найденное приближенное значение достаточно близко к значению 4,06154810045, вычисленному с помощью микрокалькулятора.
Ответ:
Пример 2
Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за x 0 , а какое – за Δx . Следует отметить, что Δx в данном примере будет отрицательным.
У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из одного из институтов году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физфаке, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.
Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =).
Пример 3
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке x
= 1,97. Вычислить более точное значение функции в точке x
= 1,97 с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Фактически, это задание запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»
Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать f
(x
).
Значение x = 1,97 необходимо представить в виде x 0 = Δx . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается x 0 = 2. И, следовательно: .
Вычислим значение функции в точке x 0 = 2:
Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.
Находим первую производную:
И её значение в точке x 0 = 2:
Таким образом, дифференциал в точке:
В результате, по формуле :
Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.
По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:
Пример.
Вычислить
приближенное значение
.
Рассмотрим функцию
и выберемх
0
=
1,
у
0
=
2. Тогда Δх
=
1,02 – 1 =
0,02; Δу =
1,97
– 2 = -0,03. Найдем
,
Следовательно,
учитывая, что f
(1, 2) = 3,
получим:
Дифференцирование сложных функций.
Пусть аргументы функции z = f (x , y ) u и v : x = x (u , v ), y = y (u , v ). Тогда функция f тоже есть функция от u и v . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v , не делая непосредственной подстановки
z = f (x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.
Зададим аргументу u приращение Δ u , не изменяя аргумент v . Тогда
Если же задать приращение только аргументу v , получим: . (2.8)
Разделим обе части равенства (2.7) на Δu , а равенства (2.8) – на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu → 0 и Δv → 0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Пусть
x
=
x
(t
),
y
=
y
(t
).
Тогда функция
f
(x
,
y
)
является фактически функцией одной
переменной t
, и можно, используя формулы (2.9) и заменяя
в них частные производные х
и у
по u
и v
на обычные производные по t
(разумеется, при условии дифференцируемости
функций x
(t
)
и
y
(t
)
) , получить выражение для
:
(2.10)
Предположим теперь,
что в качестве t
выступает переменная х
,
то есть х
и у
связаны соотношением у
= у (х).
При
этом, как и в предыдущем случае, функция
f
является функцией одной переменной х.
Используя формулу (2.10) при t
=
x
и учитывая,
что
,
получим, что
.
(2.11)
Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х : слева стоит так называемая полная производная , в отличие от частной, стоящей справа.
Примеры.
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/2706/674/html_KtKZry3ZPG.NYE4/img-7esE5W.png)
Тогда из формулы
(2.9) получим:
(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v ).
Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x .
Инвариантность формы дифференциала.
Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x , y ) , где x = x (u , v ), y = y (u , v ), через дифференциалы переменных u и v :
(2.12)
Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у , то есть является инвариантной (неизменной).
Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.
Определение 3.1. Функция у от х , определяемая уравнением
F (x, y) = 0 , (3.1)
называется неявной функцией .
Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х . Например, уравнение эллипса
задает у
как двузначную функцию от х
:
для
Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:
Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:
а) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х : y = f (x ) ;
б) при х = х 0 эта функция принимает значение у 0 : f (x 0 ) = y 0 ;
в) функция f (x ) непрерывна.
Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x ) по х .
Теорема 3.2.
Пусть
функция у
от х
задается
неявно уравнением (3.1), где функция F
(x
,
y
)
удовлетворяет условиям теоремы 3.1.
Пусть, кроме того,
- непрерывные функции в некоторой областиD
,
содержащей точку (х,у),
координаты
которой удовлетворяют уравнению (3.1),
причем в этой точке
. Тогда функцияу
от х
имеет производную
(3.2)
Пример.
Найдем
,
если
.
Найдем
,
.
Тогда из формулы
(3.2) получаем:
.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Частные производные функции z = f (x , y ) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у . Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:
Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:
Определение 3.2. Частной производной n -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.
Частные производные
обладают важным свойством: результат
дифференцирования не зависит от порядка
дифференцирования (например,
).
Докажем это утверждение.
Теорема 3.3.
Если функция z
=
f
(x
,
y
)
и ее частные
производные
определены и непрерывны в точкеМ
(х, у)
и в
некоторой ее окрестности, то в этой
точке
(3.3)
Следствие . Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.
23. Понятие дифференциала функции. Свойства. Применение дифференциала в приближенн ых вычислениях .
Понятие дифференциала функции
Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать у/х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.
Таким
образом, приращение функции ∆у
представляет собой сумму двух слагаемых
ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно
малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое
есть бесконечно малая функция одного
порядка с ∆х, так кака
второе слагаемое есть бесконечно малая
функция более высокого порядка, чем ∆х:
Поэтому первое слагаемое ƒ"(х) ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):
dy=ƒ"(х) ∆х. (1)
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу (1) можно записать так:
dy=ƒ"(х)dх, (2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение
производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.
Дифференциал обладает следующими основными свойствами.
1. d(с )=0.
2. d(u+w-v)= du+dw-dv.
3. d(uv)=du·v+u·dv.
d(с u)= с d(u).
4. .
5. y = f (z ), , ,
Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.
24. Первообразная функция и неопределенн ый интеграл .
ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Функция F (х ) называется первообразной функцией для данной функции f (х ) (или, короче, первообразной данной функции f (х )) на данном промежутке, если на этом промежутке . Пример . Функция является первообразной функции на всей числовой оси, так как при любом х . Отметим, что вместе с функцией первообразной для является любая функция вида , где С - произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Это свойство имеет место и в общем случае.
Теорема
1
. Если и -
две первообразные для функции f
(х
)
в некотором промежутке, то разность
между ними в этом промежутке равна
постоянному числу.
Из
этой теоремы следует, что если известна
какая-нибудь первообразная F
(х
)
данной функции f
(х
),
то все множество первообразных для f
(х
)
исчерпывается функциями F
(х
)
+ С
.
Выражение F
(х
)
+ С
,
где F
(х
)
- первообразная функции f
(х
)
и С
-
произвольная постоянная,
называется неопределенным
интегралом
от
функции f
(х
)
и обозначается символом ,
причем f
(х
)
называется подынтегральной
функцией
;
- подынтегральным
выражением
,
х
- переменной
интегрирования
;
∫
-
знак
неопределенного интеграла
.
Таким
образом, по определению
если .
Возникает
вопрос: для
всякой ли
функции f
(х
)
существует первообразная, а значит, и
неопределенный интеграл?
Теорема
2
. Если
функция f
(х
) непрерывна
на
[a
; b
],
то на этом отрезке для функции f
(х
) существует
первообразная
.
Ниже
мы будем говорить о первообразных лишь
для непрерывных функций. Поэтому
рассматриваемые нами далее в этом
параграфе интегралы существуют.
25. Свойства неопределенного и нтеграла. Интеграл ы от основных элементарных функций .
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x , F - первообразная функции f , а, k, C - постоянные величины.
Интегралы элементарных функций
Список интегралов от рациональных функций
(первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)
Список интегралов от логарифмических функций
Список интегралов от экспоненциальных функций
Список
интегралов от иррациональных функций
(«длинный логарифм»)
список интегралов от тригонометрических функций , список интегралов от обратных тригонометрических функций
26. Метод замен ы переменной , метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле .
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и
на основании свойства инвариантности
формулы интегрирования неопределенного
интеграла получаем формулу
интегрирования подстановкой:
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
В частности, с помощью n -кратного применения этой формулы находится интеграл
где - многочлен -й степени.
30. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.
Основные свойства определенного інтеграла
Свойства определенного интеграла
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/2706/444/html_maF_4QRT7w.hgpH/img-42Vtfu.png)
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/444/html_maF_4QRT7w.hgpH/img-PTmbPi.png)
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/2706/444/html_maF_4QRT7w.hgpH/img-O2dezi.png)
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/2706/444/html_maF_4QRT7w.hgpH/img-vthh46.png)
Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть функция f (x ) непрерывна на замкнутом интервале [a, b ]. Если F (x ) - первообразная функции f (x ) на[a, b ], то
Дифференциалом
функции
в точкеназывается главная, линейная относительно
приращения аргумента
часть приращения функции
,
равная произведению производной функции
в точке
на приращение независимой переменной:
.
Отсюда приращение функции
отличается от ее дифференциала
на бесконечно малую величину и при
достаточно малых значениях можно
считать
или
Приведенная
формула используется в приближенных
вычислениях, причем, чем меньше
,
тем точнее формула.
Пример
3.1.
Вычислить
приближенно
Решение
.
Рассмотрим функцию
.
Это степенная функция и её производная
В качестве
требуется взять число, удовлетворяющее
условиям:
Значение
известно
или достаточно просто вычисляется;
Число
должно быть как можно более близким к
числу 33,2.
В
нашем случае этим требованиям удовлетворяет
число
= 32, для которого
=
2,
= 33,2 -32 = 1,2.
Применяя формулу, находим искомое число:
+
.
Пример 3.2. Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 5% годовых.
Решение.
За год вклад увеличивается в
раз,
а за
лет вклад увеличится в
раз. Теперь необходимо решить уравнение:
=2.
Логарифмируя, получаем,
откуда
.
Получим приближенную формулу для
вычисления
.
Полагая
,
найдем
и в соответствии с приближенной формулой.
В нашем случае
и
.
Отсюда.
Так как
,
находим время удвоения вклада
лет.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение дифференциала функции в точке.
2. Почему формула, используемая для вычислений, является приближенной?
3.
Каким условиям должно удовлетворять
число
,
входящее в приведенную формулу?
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить
приближённое значение
,
заменив в точке
приращение функции
ее дифференциалом.
Таблица 3.1
Номер варианта |
|
|
|
4 . Исследование функций и построение их графиков
Если
функция одной переменной задана в виде
формулы
,
то областью ее определения называют
такое множество значений аргумента
,
на котором определены значения функции.
Пример
4.1.
Значение
функции
определены только для неотрицательных
значений подкоренного выражения:
.
Отсюда областью определения функции
является полуинтервал , так
как значение тригонометрической функции
удовлетворяют неравенству: -1
1.
Функция
называетсячетной,
если для
любых значений
из области ее определения выполняется
равенство
,
и
нечетной,
если
справедливо другое соотношение:
.
В других случаях функцию называют
функцией
общего вида.
Пример
4.4.
Пусть
.
Проверим:
.
Таким образом, эта функция является
четной.
Для
функции
верно.
Отсюда эта функция является нечетной.
Сумма
предыдущих функций
является функцией общего вида, так как
функцияне равна
и
.
Асимптотой
графика
функции
называется прямая, обладающая тем
свойством, что расстояние от точки (
;
)
плоскости до этой прямой стремится к
нулю при неограниченном удалении точки
графика от начала координат. Различают
вертикальные (рис. 4.1), горизонтальные
(рис. 4.2) и наклонные (рис. 4.3) асимптоты.
Рис.
4.1. График
Рис.
4.2. График
Рис.
4.3. График
Вертикальные
асимптоты функции следует искать либо
в точках разрыва второго рода (хотя бы
один из односторонних пределов функции
в точке бесконечен или не существует),
либо на концах ее области определения
,
если
– конечные числа.
Если
функция
определена на всей числовой оси и
существует конечный предел
,
либо
,
то прямая, задаваемая уравнением
,
является правосторонней горизонтальной
асимптотой, а прямая
-
левосторонней горизонтальной асимптотой.
Если существуют конечные пределы
и
,
то
прямая
является наклонной асимптотой графика
функции. Наклонная асимптота также
может быть правосторонней (
)
или левосторонней (
).
Функция
называется возрастающей на множестве
,
если для любых
,
таких, что
>
,
выполняется неравенство:
>
(убывающей,если
при этом:
<
).
Множество
в этом случае называют интервалом
монотонности функции.
Справедливо
следующее достаточное условие монотонности
функции: если производная дифференцируемой
функции внутри множества
положительна (отрицательна), то функция
возрастает (убывает) на этом множестве.
Пример
4.5.
Дана
функция
.
Найти ее интервалы возрастания и
убывания.
Решение.
Найдем ее производную
.
Очевидно, что
>0
при
>3
и
<0
при
<3.
Отсюда функция убывает на интервале
(
;3) и возрастает на (3;
).
Точка
называется точкойлокального
максимума (минимума)
функции
,
если в некоторой окрестности точки
выполняется неравенство
(
)
.
Значение функции в точке
называетсямаксимумом
(минимумом).
Максимум и минимум функции объединяются
общим названием экстремум
функции.
Для
того чтобы функция
имела экстремум в точке
необходимо, чтобы ее производная в этой
точке равнялась нулю (
) или не существовала.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.
Первое
из них заключается в том, что если при
переходе через стационарную точку
слева направо производная дифференцируемой
функции меняет знак с плюса на минус,
то в точке достигается локальный
максимум. Если знак изменяется с минуса
на плюс, то это точка минимума функции.
Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.
Второе
достаточное условие экстремума функции
в стационарной точке использует вторую
производную функции: если
<0, то
является точкой максимума, а если
>0,
то
- точка минимума. При
=0
вопрос о типе экстремума остается
открытым.
Функция
называетсявыпуклой
(вогнутой
)
на множестве
,
если для любых двух значений
выполняется
неравенство:
.
Рис.4.4. График выпуклой функции
Если
вторая производная дважды дифференцируемой
функции
положительна (отрицательна) внутри
множества
,
то функция вогнута (выпукла) на множестве
.
Точкой
перегиба графика непрерывной функции
называется точка, разделяющие интервалы,
в которых функция выпукла и вогнута.
Вторая
производная
дважды дифференцируемой функции в точке
перегиба
равна нулю, то есть
= 0.
Если
вторая производная при переходе через
некоторую точку
меняет свой знак, то
является точка перегиба ее графика.
При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/2706/164/html_yMDUBxKfHT.JiS4/img-waPC5f.png)